【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,上頂點(diǎn)為,過與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),且.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若過、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切,求橢圓的方程;
(3)過的直線與(2)中橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,則的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值及此時(shí)的直線方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2) ;(3)的內(nèi)切圓的面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為.
【解析】
試題分析:(1)由橢圓的幾何性質(zhì)寫出點(diǎn)的坐標(biāo),,,由向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算,由這個(gè)關(guān)系可解得;(2)外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn),半徑,由相切的性質(zhì)得,求出,再由,求出即可;
(3)設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則的周長(zhǎng)為,由此可得,設(shè)直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立得,由根與系數(shù)關(guān)系代入,換元令,轉(zhuǎn)化為,可知當(dāng)時(shí),有最大值,從而求出內(nèi)切圓面積的最大值與相應(yīng)的直線方程即可.
試題解析:(1)由題,為的中點(diǎn).設(shè),則,
,,由題,即,
∴即,∴.
(2)由題外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn),半徑,
∵由題外接圓與直線相切,∴,即,即,
∴,,,故所求的橢圓的方程為.
(3)設(shè),,由題異號(hào),
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為,則的周長(zhǎng)為,
,
因此要使內(nèi)切圓的面積最大,只需最大,此時(shí)也最大,
,
由題知,直線的斜率不為零,可設(shè)直線的方程為,
由得,
由韋達(dá)定理得,,()
,
令,則,,
當(dāng)時(shí),有最大值3,此時(shí),,,
故的內(nèi)切圓的面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為是上一點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),平行于的直線交于異于的兩點(diǎn).點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.證明:直線與軸圍成的三角形是等腰三角形.
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【題目】為了對(duì)某課題進(jìn)行研究,用分層抽樣方法從三所高校的相關(guān)人員中,抽取若干人組成研究小組、有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位:人)
(1)求;
(2)若從高校抽取的人中選2人作專題發(fā)言,求這二人都來自高校的概率.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)的圖象在兩點(diǎn)處的切線分別為,若,且,求實(shí)數(shù)的最小值.
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【題目】如圖所示,在三棱柱中,為正方形,為菱形,,平面平面.
(1)求證:;
(2)設(shè)點(diǎn)、分別是,的中點(diǎn),試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)求二面角的余弦值.
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【題目】如圖,在直四棱柱中,底面為等腰梯形, , , , , 、、分別是棱、、的中點(diǎn).
(1)證明:直線平面;
(2)求證:面面.
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【題目】某商場(chǎng)銷售某件商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷量(單位:千克)與銷售價(jià)格(單位:元/千克)滿足關(guān)系式,其中,為常數(shù)。已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí),每日可售出該商品11千克。
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價(jià)格的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大。
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【題目】如圖,太湖一個(gè)角形湖灣( 常數(shù)為銳角). 擬用長(zhǎng)度為(為常數(shù))的圍網(wǎng)圍成一個(gè)養(yǎng)殖區(qū),有以下兩種方案可供選擇:
方案一 如圖1,圍成扇形養(yǎng)殖區(qū),其中;
方案二 如圖2,圍成三角形養(yǎng)殖區(qū),其中;
(1)求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積;
(2)求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積;
(3)為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大,應(yīng)選擇何種方案?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在處取得極值,求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,函數(shù) (其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù))的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,求函數(shù)單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若對(duì)任意的,都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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