Question

若函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，均有，則稱函數(shù)

是區(qū)間上的“平緩函數(shù)”

(1) 判斷和是不是實(shí)數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”，并說明理由；

(2) 若數(shù)列對(duì)所有的正整數(shù)都有 ，設(shè),

求證： .

Answer 1

（本小題主要考查函數(shù)、絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)）

(1) 解：是R上的“平緩函數(shù)”，但不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”；

設(shè)，則,則是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，

不妨設(shè)，則，即，      

則.   ①                        

又也是R上的增函數(shù)，則，      

即，      ②                              …

由①、②得    .            

因此,，對(duì)都成立.                

當(dāng)時(shí)，同理有成立

又當(dāng)時(shí)，不等式，

故對(duì)任意的實(shí)數(shù)，R,均有.

因此 是R上的“平緩函數(shù)”.                      

由于                        

取，，則，             

因此， 不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”.                 

（2）證明:由（1）得：是R上的“平緩函數(shù)”，

則， 所以 .    

而，

∴ .          

∵,

∴.            …

∴

                             

           .                     ………