Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=loga

1+x

1-x

（a＞0且a≠1）下列說(shuō)法：
①f（x）的定義域是（-1，1）；
②當(dāng)a＞1時(shí)，使f（x）＞0的x的取值范圍是（-1，0）；
③對(duì)定義域內(nèi)的任意x，f（x）滿足f（-x）=-f（x）；
④當(dāng)0＜a＜1時(shí)，如果0＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）＜f（x₂）；
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．（填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域,對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：對(duì)于①，直接由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0求解分式不等式判斷；
對(duì)于②，直接由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于1求解x的范圍判斷；
對(duì)于③，在函數(shù)解析式中，取x=-x，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷；
對(duì)于④，根據(jù)0＜x₁＜x₂＜1，把兩數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值作差判斷．

解答： 解：由

1+x

1-x

＞0，得（x+1）（x-1）＜0，解得：-1＜x＜1，∴f（x）的定義域是（-1，1），命題①正確；
∵a＞1，由f（x）＞0得，

1+x

1-x

＞1，即

1+x

1-x

-1＞0，x（x-1）＜0，解得0＜x＜1，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，使f（x）＞0的x的取值范圍是（0，1），命題②不正確；
∵f(-x)=loga

1-x

1+x

=-loga

1+x

1-x

=-f(x)，∴命題③正確；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，若0＜x₁＜x₂＜1，則1-x₁x₂+x₂-x₁＞1-x₁x₂+x₁-x₂＞0，
∴f(x1)-f(x2)=loga

1+x1

1-x1

-loga

1+x2

1-x2

=loga(

1+x1

1-x1

•

1-x2

1+x2

)=loga

1+x1-x2-x1x2

1+x2-x1-x1x2

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）命題④不正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假與應(yīng)用，考查了函數(shù)定義域的求法，訓(xùn)練了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷方法，是中檔題．