Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為0，前四項和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）另b_n=2ⁿa_n，求b₁+b₂+…+b_n；
（3）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和，若T_n≤λa_n+1對一切n∈N⁺恒成立，求實數(shù)λ的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項公式和前n項和公式及等比數(shù)列性質(zhì)，求出首項和公差，由此能求出a_n=n+1．
（2）由b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（n+1），利用錯位相減法能求出b₁+b₂+…+b_n=n•2ⁿ．
（3）由

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，利用裂項求和法能求出λ的最小值．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的公差不為0，
前四項和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比，
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得d=1，或d=0（舍），
∴a₁=2，∴a_n=n+1．
（2）∵b_n=2ⁿa_n=2ⁿ（n+1），
記S_n=b₁+b₂+…+b_n，
則Sn=2×2+22×3+23×4+…+2n(n+1)，①
2Sn=22×2+23×3+…+2n+1×(n+1)，②
①-②，得：-S_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-2ⁿ⁺¹•（n+1）
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-2ⁿ⁺¹•（n+1），
∴Sn=n•2n
∴b₁+b₂+…+b_n=n•2ⁿ．
（3）∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

，
∵T_n≤λa_n+1，∴λ≥

n

2(n+2)2

，
又 

n

2(n+2)2

=

1

2(n+ 4 n +4)

≤

1

16

，
∴λ的最小值為

1

16

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查實數(shù)的最小值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項求和法的合理運用．