Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知它的公差不等于零，S₃=a₂²，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=a_na_n+1，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列性質(zhì)，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由b_n=a_na_n+1=（2n-1）（2n+1），得

1

bn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由S₃=a₂²，得3a₂=a₂²，解得a₂=0或a₂=3，
∵S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，∴S22=S1S4，
∴(2a1+d)2=a1(4a1+6d)，
化簡(jiǎn)，得d（d-2a₁）=0，
∵d≠0，∴d=2a₁，
由

d=2a1 a1+d=3

，得

a1=1 d=2

，
∴a_n=2n-1．
（2）∵b_n=a_na_n+1=（2n-1）（2n+1），
∴

1

bn

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．