Question

1．已知集合A={x|x=m+n•$\sqrt{2}$，m，n∈Z}，設(shè)x₁，x₂∈A，求證：x₁•x₂∈A．

Answer 1

分析 設(shè)x₁=m+n$\sqrt{2}$，m，n∈Z，x₂=c+d$\sqrt{2}$，c，d∈Z，計(jì)算可得x₁•x₂滿足集合A中元素的性質(zhì)，進(jìn)而得到答案．

解答 證明：∵集合A={x|x=m+n•$\sqrt{2}$，m，n∈Z}，
x₁，x₂∈A，
設(shè)x₁=m+n$\sqrt{2}$，m，n∈Z，
x₂=c+d$\sqrt{2}$，c，d∈Z，
x₁x₂=（m+n$\sqrt{2}$）（c+d$\sqrt{2}$）=mc+2nd+（md+cn）$\sqrt{2}$，
∵（mc+2nd），（md+cn）∈Z，
∴x₁x₂∈A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了元素與集合之間的關(guān)系，正確理解和化簡(jiǎn)是解決問題的關(guān)鍵．