Question

6．已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，f（1）=1且對任意x∈R都有：f（x+5）≥f（x）+5與f（x+1）≤f（x）+1成立，若g（x）=f（x）+1-x，則g（2015）=1．

Answer 1

分析 因為函數(shù)f（x）和g（x）都沒給出解析式，所以求解g（2002）只能依靠f（1），由g（x）=f（x）+1-x可求出g（1），問題變成了求函數(shù)g（x）的周期問題，先把g（x）=f（x）+1-x變形得到g（x）+x-1=f（x），然后把x+5和x+1兩次代入此式，借助于f（x+5）≥f（x）+5與f（x+1）≤f（x）+1變換得到函數(shù)g（x）的周期，則問題可求．

解答 解：由g（x）=f（x）+1-x得g（x）+x-1=f（x）
∴g（x+5）+（x+5）-1=f（x+5）≥f（x）+5=g（x）+（x-1）+5
g（x+1）+（x+1）-1=f（x+1）≤f（x）+1=g（x）+（x-1）+1
∴g（x+5）≥g（x），g（x+1）≤g（x）
∴g（x）≤g（x+5）≤g（x+4）≤g（x+3）≤g（x+2）≤g（x+1）
∴g（x+1）=g（x）
∴T=1
∵g（1）=f（1）+1-1=1
∴g（2015）=1
故答案為：1．

點評 本題考查了函數(shù)的周期性，訓練了抽象函數(shù)的靈活代換和變換方法，解答此題的關鍵在于一個“變”字，考查了學生的應變能力．