Question

15．函數(shù)f（x）在[a，b]上有定義，若對(duì)象x₁，x₂∈[a，b]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）在[a，b]上具有性質(zhì)P．設(shè)f（x）在[1，3]上具有性質(zhì)P．現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①f（x）=2x²，在[1，3]上具有性質(zhì)P；
②f（x²）在[1，$\sqrt{3}$]上具有性質(zhì)P；
③f（x）在[1，3]上的圖象是連續(xù)不斷的；
④若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]；
其中正確結(jié)論的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)定義，直接求出f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，比較即可；
②③可通過(guò)反例說(shuō)明不成立；
④中構(gòu)造1=f（2）=f（$\frac{x+（4-x）}{2}$）≤$\frac{1}{2}$（f（x）+f（4-x）），結(jié)合定義可得出f（x）只能為1才滿足題意．

解答 解：①f（x）=2x²，x₁，x₂∈[1，3]，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{2}$，$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$，
顯然有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故在[1，3]上具有性質(zhì)P，故正確；
②中，反例：f（x）=-x在[1，3]上滿足性質(zhì)P，但f（x²）=-x²在[1，3]上不滿足性質(zhì)P，故②錯(cuò)誤；
③中，反例：f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$，1≤x＜3；f（x）=2，x=3在[1，3]上滿足性質(zhì)P，但f（x）在[1，3]上不是連續(xù)函數(shù)，故③不成立；
④中f（x）在x=2處取得最大值1，
∵1=f（2）=f（$\frac{x+（4-x）}{2}$）≤$\frac{1}{2}$（f（x）+f（4-x）），
∴f（x）+f（4-x）≥2，
∵f（x）≤1，f（4-x）≤1，
∴f（x）=1，x∈[1，3]，故正確；
故答案為①④．

點(diǎn)評(píng) 考查了新定義類型的抽象函數(shù)，應(yīng)緊扣定義，可用反例法排除選項(xiàng)．