【題目】已知函數(shù)f(x)= (a>0).
(1)證明函數(shù)f(x)在(0,2]上是減函數(shù),(2,+∞)上是增函數(shù);
(2)若方程f(x)=0有且只有一個實數(shù)根,判斷函數(shù)g(x)=f(x)﹣4的奇偶性;
(3)在(2)的條件下探求方程f(x)=m(m≥8)的根的個數(shù).

【答案】
(1)證明:由題意:f(x)=x+ +a,

∴f′(x)= ,

∴0<x<2時,f′(x)<0,x>2時,f′(x)>0,

∴函數(shù)f(x)在(0,2]上是減函數(shù),(2,+∞)上是增函數(shù)


(2)解:由題意知方程x2+ax+4=0有且只有一個實數(shù)根

∴△=a2﹣16=0,

又a>0,∴a=4.

此時f(x)=x+ +4,g(x)=x+

又g(x)的定義域為(﹣∞,0)∪(0,+∞)關于原點對稱,

且g(﹣x)=﹣x﹣ =﹣g(x),

∴g(x)是奇函數(shù)


(3)解:由(2)知f(x)=m可化為x+ =m﹣4(m≥8)

又由(1)(2)知:

當m﹣4=4 即m=8時f(x)=m只有一解

當m﹣4>4即m>8時f(x)=m有兩解

綜上,當m=8時f(x)=m只有一解;當m>8時f(x)=m有兩解


【解析】(1)利用導數(shù)的正負,即可證明;(2)求出g(x)=x+ ,又g(x)的定義域為(﹣∞,0)∪(0,+∞)關于原點對稱,利用奇函數(shù)的定義進行判斷;(3)由(2)知f(x)=m可化為x+ =m﹣4(m≥8),再分類討論,即可得出結論.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識,掌握奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調性;偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調性.

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A.
B.
C.2
D.

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