Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間 上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)? ，x＞0，則 ，（1分）

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0；

當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0．

所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值．

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（a，a+ ）（其中a＞0）上存在極值，

所以 解得

（2）解：不等式 ，即為 ，記 ，

所以 =

令h（x）=x﹣lnx，

則 ，∵x≥1，∴h'（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，

從而g'（x）＞0，

故g（x）在[1，+∞）上也單調(diào)遞增，所以[g（x）]min=g（1）=2，

所以k≤2

【解析】（1）因?yàn)? ，x＞0，x＞0，則 ，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，a+ ）（其中a＞0）上存在極值，能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．（2）不等式 ，即為 ，構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)知識能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值的相關(guān)知識，掌握極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況．