Question

1．如圖，在平行四邊形ABCD中，$∠BAD=\frac{π}{3}$，AB=2，AD=1，若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足$\frac{BM}{BC}=\frac{NC}{DC}=λ$，其中λ∈[0，1]，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范圍是（　�。�

• A． [0，3]
• B． [1，4]
• C． [2，5]
• D． [1，7]

Answer 1

分析 畫出圖形，建立直角坐標系，利用比例關系，求出M，N的坐標，然后通過二次函數求出數量積的范圍．

解答 解：建立如圖所示的直角坐標系，則B（2，0），A（0，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∵$\frac{BM}{BC}=\frac{NC}{DC}=λ$，λ∈[0，1]，
$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$=M（2+$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ），
即M（2+$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ）；
$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$=$\overrightarrow{AD}$+（$\overrightarrow{DC}$-λ$\overrightarrow{DC}$）=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+（1-λ）•（2，0）=（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
即 N（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
所以$\overrightarrow{AM}$=（2+$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ）•（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-λ²-2λ+5=-（λ+1）²+6．
因為λ∈[0，1]，二次函數的對稱軸為：λ=-1，
故當λ∈[0，1]時，-λ²-2λ+5∈[2，5]．
故選：C．

點評 本題考查向量的綜合應用，平面向量的坐標表示以及數量積的應用，二次函數的最值問題，考查計算能力，屬于中檔題．