Question

已知函數f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos²x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）已知f（

α

2

）=

1

3

，α∈[0，π]，求cos（α+

π

6

）的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,兩角和與差的余弦函數,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用三角恒等變換化簡f（x），求出它的最小正周期；
（2）由f（

α

2

）=

1

3

求出sin（α+

π

6

）的值，考慮α的取值范圍，求出α+

π

6

的取值范圍，從而求出cos（α+

π

6

）的值．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos²x
=

3

sin2x+cos2x+1
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，x∈R
∴f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．

（2）∵f（

α

2

）=2sin[2（

α

2

）+

π

6

]+1
=2sin（α+

π

6

）+1
=

1

3

，
∴sin(α+

π

6

)=-

1

3

＜0，
∵α∈[0，π]，
∴α+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴α+

π

6

∈(π，

7π

6

]，
∴α∈(

5π

6

，π]時，cos(α+

π

6

)＜0，
∴cos(α+

π

6

)=-

2 2

3

．

點評：本題考查了三角函數的恒等變換以及三角函數的求值問題，解題時應注意三角函數的化簡以及由值求角和由角求值時角的范圍，是中檔題．