在△ABC中，a、b、c分別為三個內角A、B、C的對邊，銳角B滿足sinB=
5
3
．
（1）求sin2B+cos2
A+C
2
的值；
（2）若b=
2
，當ac取最大值時，求cos(A+
π
3
)的值．
分析：（1）先利用sinB求得cosB，進而根據(jù)二倍角公式對sin2B+cos2
A+C
2
化簡整理把sinB和cosB代入即可．
（2）先根據(jù)余弦定理求得a和c的關系，進而根據(jù)均值不等式求得ac取最大值時a和c的值，利用余弦定理求得cosA，進而求得sinA，代入cos(A+
π
3
)中答案可得．
解答：解：（Ⅰ）∵銳角B滿足sinB=
5
3
，∴cosB=
2
3

∵sin2B+cos2
A+C
2
=2sinB•cosB+
1+cos(A+C)
2

=2sinBcosB+
1-cosB
2

=2×
5
3
×
2
3
+
1-
2
3
2
=
8
5
+3
18
．
（Ⅱ）∵cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
2
3
，
∴
4
3
ac=a2+c2-2≥2ac-2
∴ac≤3，當且僅當a=c=
3
時，ac取到最大值
∴ac取到最大值時，cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
b
2c
=
2
2
3
=
6
6
．
∴sinA=
1-cos2A
=
1-
1
6
=
30
6

∴cos(A+
π
3
)=cosAcos
π
3
-sinAsin
π
3
=
6
6
×
1
2
-
30
6
×
3
2
=
6
-3
10
12
點評：本題主要考查了利用二倍角公式化簡求值的問題．屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．則sinA+sinB的最大值是（　　）
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a＜b＜c，B=60°，面積為10
3
cm2，周長為20cm，求此三角形的各邊長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，已知
.
m
=(cos
C
2
，sin
C
2
)，
.
n
=(cos
C
2
，-sin
C
2
)，且
m
•
n
=
1
2
．
（1）求角C；
（2）若a+b=
11
2
，△ABC的面積S=
3
3
2
，求邊c的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，A，B，C為三個內角，若cotA•cotB＞1，則△ABC是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）函數(shù)的圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過如下三步變換得到的：
①將y=sinx的圖象整體向左平移
π
6
個單位；
②將①中的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的
1
2
；
③將②中的圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍．
（1）求f（x）的周期和對稱軸；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（C）=2，c=1，ab=2
3
，且a＞b，求a，b的值．

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