Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$+1（m為實數(shù)）．
（1）若m=0，則函數(shù)g（x）=$\frac{x+2}{f（x）}$的圖象如何由函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象變換而得？
（2）若m=-2，且方程f（x）=$\frac{k}{x}$在（-∞，0）上有兩個不等的根，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[3，+∞）上是增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）g（x）=$\frac{x+2}{f（x）}$=$\frac{x+2}{x+1}$=1+$\frac{1}{x+1}$，根據(jù)左加右減，上加下減即可得到；
（2）根據(jù)判別式即可求出k的范圍；
（3）由題意，任取x₁、x₂∈[9，+∞），且x₁＜x₂，然后作差即可判斷出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）m=0時，f（x）=x+1，
∴g（x）=$\frac{x+2}{f（x）}$=$\frac{x+2}{x+1}$=1+$\frac{1}{x+1}$，
∴g（x）=$\frac{x+2}{f（x）}$的圖象由函數(shù)y=$\frac{1}{x}$的圖象先先左平移一個單位，再向上平移一個單位得到的．
（2）m=2時，f（x）=x+$\frac{2}{x}$+1，
∴x+$\frac{2}{x}$+1=$\frac{k}{x}$，
∴x²+x+（2-k）=0，
∵方程f（x）=$\frac{k}{x}$在（-∞，0）上有兩個不等的根，
∴△=1-4（2-k）＞0，
解的k＞$\frac{7}{4}$，
∴實數(shù)k的取值范圍為（$\frac{7}{4}$，+∞）；
（3）由題意，任取x₁、x₂∈[3，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{m}{{x}_{1}}$+1-x₂-$\frac{m}{{x}_{2}}$-1=（x₁-x₂）+$\frac{m（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{m}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-m}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴x₁x₂-m＞0，即m＜x₁x₂，
由x₂＞x₁≥3，得x₁x₂＞9，所以m≤9．所以，m的取值范圍是（-∞，9]．

點評 本考查函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)用，綜合性強，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．