Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，面PAD⊥面ABCD，四邊形BCDE為矩形∠PAD=60°，PB=2

3

，PA=ED=2AE=2．
（1）已知

PF

=λ

PC

（λ∈R），且PA∥面BEF，求λ的值；
（2）求證：CB⊥面PEB，并求點(diǎn)D到面PBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM，運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理，得到PA∥FM，再由平行線分線段成比例，得到
λ的值；
（2）先求出PE=

3

，從而PE⊥AD，再由面面垂直的性質(zhì)定理，以及線面垂直的判定定理，即可證得CB⊥面PEB，設(shè)點(diǎn)D到面PBC的距離為d，由V_D-PBC=V_P-DBC，運(yùn)用棱錐的體積公式，即可求得．

解答： （1）解：連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM，
∵PA∥面BEF，F(xiàn)M=面PAC∩面BEF，∴PA∥FM，
∵EM∥CD，∴

AM

MC

=

AE

ED

=

1

2

，
∵PA∥FM，∴

PF

FC

=

AM

MC

=

1

2

．
∵

PF

=λ

PC

（λ∈R），
∴λ=

1

3

；
（2）∵AP=2，AE=1，∠PAD=60°，
∴PE=

3

，∴PE⊥AD
又面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PE⊥面ABCD
∴PE⊥CB
又∴BE⊥CB，且∴PE∩BE=E，∴CB⊥面PEB，
設(shè)點(diǎn)D到面PBC的距離為d，由V_D-PBC=V_P-DBC，
得

1

3

×

1

2

×2×2

3

×d=

1

3

×

1

2

×2×3×

3

，
求得d=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的判定和性質(zhì)定理，面面垂直的性質(zhì)定理，同時(shí)考查等積法求點(diǎn)到平面的距離，平行線分線段成比例等，屬于中檔題．