Question

12．已知A（-$\frac{2}{{k}^{2}-1}$，0），B（0，-$\frac{2k}{{k}^{2}-1}$），其中k≠0且k≠±1，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，0）和AB的中點(diǎn)．
（1）求證：A，B關(guān)于直線l對(duì)稱；
（2）當(dāng)1＜k＜$\sqrt{2}$時(shí)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意只需證明l和AB垂直即可，由斜率公式可得l和AB的斜率，乘積為-1即可；
（2）可得直線l在y軸上的截距b=-$\frac{1}{k}$，由1＜k＜$\sqrt{2}$和不等式的性質(zhì)可得．

解答 解：（1）∵直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，0）和AB的中點(diǎn)（-$\frac{1}{{k}^{2}-1}$，-$\frac{k}{{k}^{2}-1}$），
∴只需證明l和AB垂直即可，由斜率公式可得l的斜率為$\frac{-\frac{k}{{k}^{2}-1}-0}{-\frac{1}{{k}^{2}-1}-1}$=$\frac{1}{k}$，
直線的AB的斜率為$\frac{-\frac{2k}{{k}^{2}-1}-0}{0-（-\frac{2}{{k}^{2}-1}）}$=-k，由$\frac{1}{k}$（-k）=-1可知直線垂直，
∴A，B關(guān)于直線l對(duì)稱；
（2）由（1）可知l的斜率為$\frac{1}{k}$，故l的方程為y=$\frac{1}{k}$（x-1），
可得直線l在y軸上的截距b=-$\frac{1}{k}$，
∵1＜k＜$\sqrt{2}$，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{1}{k}$＜1，∴-1＜-$\frac{1}{k}$＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴直線l在y軸上的截距b的取值范圍為（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的對(duì)稱軸和直線的垂直關(guān)系，涉及直線的截距和不等式的性質(zhì)，屬中檔題．