Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），若存在實數x，y，使向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（4x²-3）$\overrightarrow$，$\overrightarrowhzizjdg$=-y$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{x-1}$$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrownppkflz$．
（1）試求函數y=f（x）的關系式；
（2）若x＞1，則是否存在實數m，使得m＜f（x）恒成立？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowsfuirzy$，從而有$\overrightarrow{c}•\overrightarrow4bor3tt=0$，帶入向量$\overrightarrow{c}，\overrightarrowywv4szc$，然后進行數量積的運算，從而得到$-y{\overrightarrow{a}}^{2}+[\frac{1}{x-1}-y（4{x}^{2}-3）]\overrightarrow{a}•\overrightarrow$$+\frac{4{x}^{2}-3}{x-1}{\overrightarrow}^{2}$=0，這樣根據向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標，求出${\overrightarrow{a}}^{2}，\overrightarrow{a}•\overrightarrow，{\overrightarrow}^{2}$帶入即可得出y=f（x）的關系式：y=$\frac{4{x}^{2}-3}{4（x-1）}$；
（2）求導數，$f′（x）=\frac{4{x}^{2}-8x+3}{4（x-1）^{2}}$，根據導數符號，可求出f（x）在（1，+∞）上的最大值6，從而說明存在m＜6使得m＜f（x）在（1，+∞）上恒成立．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrowdtqo9dz$；
$\overrightarrow{c}•\overrightarrowrhogbxl=[\overrightarrow{a}+（4{x}^{2}-3）\overrightarrow]•[-y\overrightarrow{a}+\frac{1}{x-1}\overrightarrow]=0$；
∴$-y{\overrightarrow{a}}^{2}+[\frac{1}{x-1}-y（4{x}^{2}-3）]\overrightarrow{a}•\overrightarrow$$+\frac{4{x}^{2}-3}{x-1}{\overrightarrow}^{2}=-4y+0+\frac{4{x}^{2}-3}{x-1}=0$；
∴$y=f（x）=\frac{4{x}^{2}-3}{4（x-1）}$；
（2）$f′（x）=\frac{4{x}^{2}-8x+3}{4（x-1）^{2}}$；
令4x²-8x+3=0得，x=$\frac{3}{2}$，或$\frac{1}{2}$；
∵x＞1；
∴$x∈（1，\frac{3}{2}）$時，f′（x）＜0，x$∈（\frac{3}{2}，+∞）$時，f′（x）＞0；
∴$x=\frac{3}{2}$時，f（x）取到最小值6；
∴存在m＜6時，使m＜f（x）在x＞1上恒成立．

點評 考查兩向量垂直的充要條件，向量數量積的運算及其坐標運算，根據導數符號求函數最大值的方法和過程，要理解恒成立的含義．