Question

12．當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，用N（n）表示n的最大奇因數(shù)，如N（3）=3，N（10）=5，…，設(shè)S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ-1）+N（2ⁿ），則數(shù)列{S_n-S_n-1}（n≥2）的前n項(xiàng)和的表達(dá)式為 R_n=$\frac{{4}^{n}-4}{3}$．

Answer 1

分析 由N（x）的性質(zhì)可得知，當(dāng)x是奇數(shù)時(shí)，x的最大奇數(shù)因子明顯是它本身．因此N（x）=x，當(dāng)x是偶數(shù)時(shí)，可將S_n進(jìn)行分解，分別算出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和進(jìn)而相加，即S_n=S_奇+S_偶，由于S_奇=N（1）+N（3）+…+N（2ⁿ-1）=1+3+…2ⁿ-1=4^n-1，當(dāng)x是偶數(shù)時(shí)，且x∈[2^k，2^k+1），通過分類討論可得：當(dāng)x∈[2^k，2^k+1）該區(qū)間所有偶數(shù)的最大奇因數(shù)和T_k=4^k-1．可得S_偶=T₁+T₂+…+T_n-1+N（2ⁿ）=$\frac{{4}^{n-1}+2}{3}$，即可得出．

解答 解：由N（x）的性質(zhì)可得知，當(dāng)x是奇數(shù)時(shí)，x的最大奇數(shù)因子明顯是它本身．因此N（x）=x，當(dāng)x是偶數(shù)時(shí)，可將S_n進(jìn)行分解，分別算出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和進(jìn)而相加，即S_n=S_奇+S_偶，
∴S_奇=N（1）+N（3）+…+N（2ⁿ-1）=1+3+…2ⁿ-1=$\frac{1+{2}^{n}-1}{2}×{2}^{n-1}$=4^n-1，
當(dāng)x是偶數(shù)時(shí)，且x∈[2^k，2^k+1），
①當(dāng)k=1時(shí)，x∈[2，4）該區(qū)間包含的偶數(shù)只有2，而N（2）=1所以該區(qū)間所有的偶數(shù)的最大奇因數(shù)之和為T₁=1，
②當(dāng)k=2時(shí)，x∈[4，8），該區(qū)間包含的偶數(shù)為4，6，所以該區(qū)間所有的最大奇因數(shù)偶數(shù)之和為T₂=1+3=4，
③當(dāng)k=3時(shí)，x∈[8，16），該區(qū)間包含的偶數(shù)為8，10．，12，14，則該區(qū)間所有偶數(shù)的最大奇因數(shù)之和為T₃=1+3+5+7=16，
因此我們可以用數(shù)學(xué)歸納法得出當(dāng)x∈[2^k，2^k+1）該區(qū)間所有偶數(shù)的最大奇因數(shù)和T_k=4^k-1．
∴對(duì)k從1到n-1求和得T₁+T₂+…+T_n-1=$\frac{{4}^{n-1}-1}{3}$，
∴S_偶=T₁+T₂+…+T_n-1+N（2ⁿ）=$\frac{{4}^{n-1}+2}{3}$
綜上可知S_n=S_奇+S_偶=4^n-1+$\frac{{4}^{n-1}+2}{3}$=$\frac{{4}^{n}+2}{3}$．
∴S_n-S_n-1=$\frac{{4}^{n}+2}{3}$-$\frac{{4}^{n-1}+2}{3}$=4^n-1．
∴數(shù)列{S_n-S_n-1}（n≥2）的前n項(xiàng)和R_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）
=4^n-1+4^n-2+…+4
=$\frac{4（{4}^{n-1}-1）}{3}$
=$\frac{{4}^{n}-4}{3}$．
故答案為：R_n=$\frac{{4}^{n}-4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．