【題目】已知函數f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均為正實數,且滿足a+b+c=m,求證:++≥3.
【答案】(1)m=3 (2)證明見解析
【解析】
(1)分段討論當x<-1時,當-1≤x<2時,當x≥2時,函數f(x)的值域,然后求函數在定義域上的值域即可;
(2)由已知條件a+b+c=3,再結合重要不等式證明即可.
解:(1)當x<-1時,f(x)=-2(x+1)-(x-2)=-3x∈(3,+∞);
當-1≤x<2時,f(x)=2(x+1)-(x-2)=x+4∈[3,6);
當x≥2時,f(x)=2(x+1)+(x-2)=3x∈[6,+∞).
即,
綜上,f(x)的最小值m=3.
(2)證明:因為a,b,c均為正實數,且滿足a+b+c=3,
所以+++(a+b+c)
=++
≥2
=2(a+b+c),
當且僅當a=b=c=1時,取“=”,
所以++≥a+b+c,
又a+b+c=3,
即++≥3.
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【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱,旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經濟合作關系,共同打造政治互信、經濟融合、文化包容的命運共同體.自2013年以來,“一帶一路”建設成果顯著下圖是2013-2017年,我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖,下列描述正確的是( ).
A.這五年,2013年出口額最少
B.這五年,出口總額比進口總額多
C.這五年,出口增速前四年逐年下降
D.這五年,2017年進口增速最快
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【題目】在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),曲線的參數方程為(為參數),曲線與軸交于兩點.以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求直線的普通方程及曲線的極坐標方程;
(2)若直線與曲線在第一象限交于點,且線段的中點為,點在曲線上,求的最小值.
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【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事,說的是齊國大將軍田忌經常與齊國眾公子賽馬,孫臏發(fā)現田忌的馬和其他人的馬相差并不遠,都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻策:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽,田忌獲勝的概率如下表所示:
比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬參賽,結果只有勝和負兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.
(1)如果按孫臏的策略比賽一次,求田忌獲勝的概率;
(2)如果比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數學期望.
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【題目】已知在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點.
(Ⅰ)求證:PO平面;
(Ⅱ)求平面EFG與平面所成銳二面角的大小;
(Ⅲ)線段上是否存在點,使得直線與平面所成角為,若存在,求線段的長度;若不存在,說明理由.
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【題目】某電信運營公司為響應國家5G網絡建設政策,擬實行5G網絡流量階梯定價.每人月用流量中不超過(一種流量計算單位)的部分按2元收費;超出的部分按4元收費.從用戶群中隨機調查了10000位用戶,獲得了他們某月的流量使用數據.整理得到如下的頻率分布直方圖:
(1)若為整數,依據本次調查,為使80以上用戶在該月的流量價格為2元,至少定為多少?
(2)假設同組中的每個數據用該組區(qū)間的右端點值代替,當時,試估計用戶該月的人均流量費.
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【題目】已知拋物線,直線與拋物線交于,兩點,分別過,作拋物線的切線,兩切線交于點.
(1)若直線變動時,點始終在以為直徑的圓上,求動點的軌跡方程;
(2)設圓,若直線與圓相切于點(點在線段上).是否存在點使得?若存在,求出點坐標,若不存在,說明理由.
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