Question

如圖，把橢圓的長軸AB分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇七個點，F是橢圓的一個焦點，則|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=（ ）

A．40
B．30
C．32
D．35

Answer 1

【答案】分析：根據題意要求的是焦半徑的和因此可利用橢圓的第二定義可得焦半徑的通式|PF|=5-，所以所求的焦半徑的和即可轉化為各點橫坐標的和，故需根據對稱性分析出p₄點為橢圓與Y軸正半軸的交點且P₁，P₂，P₃與P₅，P₆，P₇分別關于Y軸對稱然后代入化簡即可．
解答：解：不妨設P點是橢圓上的任意點則由橢圓的第二定義可得：又a=5，b=4，c==3故|PF|=5-  ①
∵把橢圓的長軸AB分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇七個點
∴p₄點為橢圓與Y軸正半軸的交點且P₁，P₂，P₃與P₅，P₆，P₇分別關于Y軸對稱
∴不妨設p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），p₃（x₃，y₃）且x₁＜0，x₂＜0，x₃＜0，p₄（0，4）
∴p₅（-x₃，y₃），p₆（-x₂，y₂），p₇（-x₁，y₁）
∴由①可得|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=（5-）
∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=5×7=35
故答案選D
點評：本題主要考查了利用橢圓的第二定義求橢圓的焦半徑的和．解題的關鍵是要利用橢圓的第二定義可得焦半徑的通式|PF|=5-再根據對稱性得出p₄點為橢圓與Y軸正半軸的交點且P₁，P₂，P₃與P₅，P₆，P₇分別關于Y軸對稱同時橢圓的準線方程形式：x=或y=也要熟記！