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如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中點．
（Ⅰ）求證：AM∥面SCD；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值．
考點：與二面角有關的立體幾何綜合題
專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）通過建立空間直角坐標系，求出平面SCD的法向量，利用
n
•
AM
=0，即可證明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）分別求出平面SCD與平面SAB的法向量，利用法向量的夾角即可得出．
解答： （Ⅰ）證明：以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A（0，0，0），B（0，2，0），D（1，0，0，），S（0，0，2），M（0，1，1）．
則
AM
=（0，1，1），
SD
=（1，0，-2），
CD
=（-1，-2，0）．
設平面SCD的法向量是
n
=（x，y，z），則
x-2z=0
-x-2y=0

令z=1，則x=2，y=-1．于是
n
=（2，-1，1）．
∵
n
•
AM
=0-1×1+1×1=0，∴
AM
⊥
n
．
又∵AM?平面SCD，∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）解：易知平面SAB的法向量為
n1
=（1，0，0）．
設平面SCD與平面SAB所成的二面角為α，
則|cosα|=|
n
•
n1
|
n
||
n1
|
|=
2
1×
6
=
6
3

∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為
6
3
．
點評：本題考查線面平行，考查面面角，求出平面SCD與平面SAB的法向量是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知：∵tan2α=
2tanα
1-tan2α
，∴cot2α=
1-tan2α
2tanα

∴2cot2α=cotα-tanα即cotα=tanα+2cot2α
（1）請利用已知的結論證明：cotα=tanα+2tan2α+4cot4α
（2）請你把（2）的結論推廣到更一般的情形，使之成為推廣后的特例，并加以證明；
（3）化簡tan5°+2tan10°+4tan20°+8tan50°．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，點D是BC的中點．
（1）求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE=F1C=1．
（Ⅰ）求證：E、B、F、D1四點共面；
（Ⅱ）若點G在BC上，BG=
2
3
，點M在BB1上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥面BCC1B1；
（Ⅲ）用θ表示截面EBFD1和面BCC1B1所成銳二面角大小，求cosθ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AB的中點
（Ⅰ）在B1C上是否存在點P，使PB∥平面B1ED，若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）求二面角D-B1E-C的平面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

動圓C與定圓C1：（x+3）2+y2=9，C2：（x-3）2+y2=1都外切，求動圓圓心C的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
a
a2-1
(ax-a-x) (a＞0且a≠1)．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性，并證明你的結論；
（Ⅲ）當x∈[-1，1]時，2f（x）-3b≥0恒成立，求b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2
2
．M是AD的中點．
（1）證明：平面ABC⊥平面ADC；
（2）若∠BDC=60°，求二面角C-BM-D的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x），若存在常數m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切定義域內x均成立，則稱f（x）為F函數．給出下列函數：
①f（x）=0；②f（x）=2x；③f（x）=x2-3x+1，x≥2； ④f（x）=
x
x2+x+1
；
你認為上述四個函數中，哪幾個是F函數，請說明理由．

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