Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AB的中點
（Ⅰ）在B₁C上是否存在點P，使PB∥平面B₁ED，若存在，求出點P的位置，若不存在，請說明理由；
（Ⅱ）求二面角D-B₁E-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的性質(zhì),與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，求出平面B₁ED的法向量，設P（2，λ，2-λ），則

PB

=(0，-λ，λ-2)，利用

n1

•

PB

=0時，PB∥平面B₁ED，即可得出結論；
（Ⅱ）求出平面B₁EC的一個法向量，平面B₁ED的法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，
則有A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），E（1，0，0），B₁（2，0，2）
∴

B1E

=(-1，0，-2)，

ED

=(-1，2，0)，
設平面B₁ED的法向量

n1

=（a，b，c），
則

a+2c=0 a-2b=0

，取a=2，則b=1，c=-1，

n1

=（2，1，-1）
設P（2，λ，2-λ），則

PB

=(0，-λ，λ-2)
∵PB?平面B₁ED，∴當且僅當

n1

•

PB

=0時，PB∥平面B₁ED
∴-λ-（λ-2）=0，λ=1，∴P（2，1，1），
即P是B₁C的中點時，PB∥平面B₁ED； …6分
（Ⅱ）

B1E

=(-1，0，-2)，

EC

=(1，2，0)，設平面B₁EC的法向量

n2

=（x，y，z）
由

x+2z=0 x+2y=0

，取x=2，則y=z=-1，

n2

=（2，-1，-1）
設二面角D-B₁E-C的平面角為θ，易知0＜θ＜

π

2

，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

3

． …12分．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面所成角的應用，解題時要注意等價轉化思想和向量法的合理運用．