【題目】已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為.

(I)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

(II)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(III)求函數(shù)在區(qū)間上的最值.

【答案】(I);(II)增區(qū)間是, ,減區(qū)間是;(III)最大值為,最小值為.

【解析】試題分析:(I)求出,由解得,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率,利用點(diǎn)斜式可得切線方程;(II)求出, 得增區(qū)間, 得減區(qū)間;(III)根據(jù)(II)求出函數(shù)的極值,與區(qū)間端點(diǎn)出的函數(shù)值進(jìn)行比較即可得結(jié)果.

試題解析:(I).

,解得

從而

所以,

曲線在點(diǎn)處的切線方程為

.

(II)由于,當(dāng)變化時(shí), 的變化情況如下表:

0

0

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

的單調(diào)增區(qū)間是, ,單調(diào)減區(qū)間是.

(III)由于

故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟:①確定函數(shù)的定義域;②對(duì)求導(dǎo);③令,解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間;令,解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間;④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值(閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大。.

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C.
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