Question

在等差數(shù)列{a_n}，等比數(shù)列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃，
（1）求數(shù)列{a_n}的公差d和數(shù)列{b_n}的公比q；
（2）是否存在常數(shù)x，y，使得對一切正整數(shù)n，都有a_n=log_xb_n+y成立？若存在，求出x和y；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃，
∴1+d=q，1+7d=q²，（d≠0，q≠1）
解得：d=5，q=6；
（2）由（1）知：a_n=1+5（n-1）=5n-4，b_n=6^n-1，
要使對一切正整數(shù)n，都有a_n=log_xb_n+y成立，
即5n-4=（n-1）log_x6+y，
∴，解得，
∴當(dāng)時對，一切正整數(shù)n，都有a_n=log_xb_n+y成立．
分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃，可知，d≠0，q≠1，列方程組即可求得數(shù)列{a_n}的公差d和數(shù)列{b_n}的公比q；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求得等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，假設(shè)存在常數(shù)x，y，使得對一切正整數(shù)n，都有a_n=log_xb_n+y成立，利用對數(shù)的運算法則，轉(zhuǎn)化為恒等式，對應(yīng)系數(shù)相等，即可得到關(guān)于x和y的方程組，解此方程組即可得到結(jié)論．
點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的和對數(shù)的運算法則，特別是問題（2）的設(shè)置有新意，關(guān)鍵是恒等式的解題方法（對應(yīng)系數(shù)相等）是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．