Question

【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為H，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上且，當(dāng)k最大時(shí)，點(diǎn)P恰好在以H，F為焦點(diǎn)的雙曲線上，則k的最大值為_____，此時(shí)該雙曲線的離心率為_____．

Answer 1

【答案】1

【解析】

畫(huà)出拋物線，過(guò)作拋物線準(zhǔn)線于，連接，設(shè)直線的傾斜角為，由拋物線定義可得，由題意當(dāng)k最大時(shí)，取得最小值.而當(dāng)取得最小時(shí)，直線與拋物線相切，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線可求得，進(jìn)而得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可由雙曲線定義及幾何性質(zhì)求得離心率.

根據(jù)題意畫(huà)出拋物線，過(guò)作拋物線準(zhǔn)線于，連接.

由拋物線定義可知，由，（），

設(shè)直線的傾斜角為，則，

可得，

當(dāng)k最大時(shí)，取得最小值，且，

當(dāng)取得最小值時(shí)直線與拋物線相切，

設(shè)直線的方程為，

則，化簡(jiǎn)可得，

因?yàn)橹本�與拋物線相切，則，

解得，由可得，同時(shí)可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

將切點(diǎn)橫坐標(biāo)帶入拋物線可得，

因?yàn)辄c(diǎn)P恰好在以H，F為焦點(diǎn)的雙曲線上，

由雙曲線定義及兩點(diǎn)間距離公式可得，

，

所以雙曲線離心率為，

故答案為：1；.