Question

某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣�制合格后方可進(jìn)入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨(dú)立．根據(jù)該廠現(xiàn)有技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75，
（1）求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；
（2）經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列，均值和方差．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件A₁、A₂、A₃．設(shè)E表示第一次燒制后恰好有一件合格，則P（E）=P（A₁•A₂•A₃）+P（A₁•A₂•A₃）+P（A₁•A₂•A₃），由此能求出第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率．
（2）分別記甲、乙、丙經(jīng)過兩次燒制后合格為事件A、B、C，則P（A）=P（B）=P（C）=0.3，X～B（3，0.3），由此能求出隨機(jī)變量X的分布列，均值和方差．

解答： 解：（1）分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件A₁、A₂、A₃．
設(shè)E表示第一次燒制后恰好有一件合格，則
P（E）=P（A₁•A₂•A₃）+P（A₁•A₂•A₃）+P（A₁•A₂•A₃）
=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38．
（2）分別記甲、乙、丙經(jīng)過兩次燒制后合格為事件A、B、C，
則P（A）=P（B）=P（C）=0.3，
∴P（X=0）=（1-0.3）³=0.343，
P（X=1）=3×（1-0.3）²×0.3=0.441，
P（X=2）=3×0.3²×0.7=0.189，
P（X=3）=0.3³=0.027．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.343	0.441	0.189	0.027

∵每件工藝品經(jīng)過兩次燒制后合格的概率均為p=0.3，
∴X～B（3，0.3），
E（X）=np=3×0.3=0.9．D（X）=np（1-p）=3×0.3×（1-0.3）=0.63．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，是中檔題，要注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．