Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²，h（x）=x²-2ax-2alnx
（1）若x=1是函數(shù)h（x）的極值點，求a的值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若a＞1，h（x）=e^3x-3ae^x，x∈[0，ln2]，求h（x）的極小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由h（x）=x²-2ax-2alnx，得h′(x)=2x-2a-

2a

x

=

2x2-2ax-2a

x

(x＞0)，從而h'（1）=2-2a-2a=0，解得a=

1

2

，
（2）g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，從而g′（x）=

1

x

+2x-a，由題意，知g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤(2x+

1

x

)min．又x＞0，2x+

1

x

≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時等號成立．故(2x+

1

x

)min=2

2

，進而a≤2

2

．
（3）先求出H′（t）=3t²-3a=3（t-

a

）（t+

a

），由H′（t）=0，得t=

a

或t=-

a

（舍去），討論①若1＜t≤

a

，則H′（t）＜0，H（t）單調(diào)遞減；h（x）在（0，ln

a

]也單調(diào)遞減；②若

a

＜t≤2，則H′（t）＞0，H（t）單調(diào)遞增．h（x）在[ln

a

，ln2]也單調(diào)遞增；故h（x）的極小值為h（ln

a

）=-2a

a

．

解答： 解：（1）由h（x）=x²-2ax-2alnx，
得h′(x)=2x-2a-

2a

x

=

2x2-2ax-2a

x

(x＞0)，
∵x=1是函數(shù)h（x）的極值點，
∴h'（1）=2-2a-2a=0，解得a=

1

2

，
經(jīng)檢驗x=1為函數(shù)h（x）的極值點，
∴a=

1

2

． 
（2）∵g（x）=f（x）-ax=lnx+x²-ax，
∴g′（x）=

1

x

+2x-a，
由題意，知g′（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，即a≤(2x+

1

x

)min．
又x＞0，2x+

1

x

≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

2

時等號成立．
故(2x+

1

x

)min=2

2

，
∴a≤2

2

．
（3）由（2）知，1＜a≤2

2

，
令e^x=t，則t∈[1，2]，則h（x）=H（t）=t³-3at，
∴H′（t）=3t²-3a=3（t-

a

）（t+

a

），
由H′（t）=0，得t=

a

或t=-

a

（舍去），
∵a∈[1，2

2

]，∴

a

∈[1，2

3

4

]，
①若1＜t≤

a

，則H′（t）＜0，H（t）單調(diào)遞減；h（x）在（0，ln

a

]也單調(diào)遞減；
②若

a

＜t≤2，則H′（t）＞0，H（t）單調(diào)遞增．h（x）在[ln

a

，ln2]也單調(diào)遞增；
故h（x）的極小值為h（ln

a

）=-2a

a

．

點評：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，以及求參數(shù)的取值范圍，本題是一道中檔題．