Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分別是棱PA，CD的中點．

（1）求證：PC∥平面BMN；
（2）求證：平面BMN⊥平面PAC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設AC∩BN=O，連結MO，AN，

因為 ，N為CD的中點，

所以AB=CN，AB∥CN，所以四邊形ABCN為平行四邊形，

所以O為AC的中點，所以MO∥PC．

又因為MO平面BMN，PC平面BMN，所以PC∥平面BMN

（2）證明：（方法一）因為PC⊥平面PDA，AD平面PDA

所以PC⊥AD，由（1）同理可得，四邊形ABND為平行四邊形，

所以AD∥BN，所以BN⊥PC

因為BC=AB，所以平行四邊形ABCN為菱形，所以BN⊥AC，

因為PC∩AC=C，AC平面PAC，PC平面PAC，所以BN⊥平面PAC

因為BN平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC．

（方法二）連結PN，因為PC⊥平面PDA，PA平面PDA，所以PC⊥PA

因為PC∥MO，所以PA⊥MO，因為PC⊥平面PDA，PD平面PDA，所以PC⊥PD

因為N為CD的中點，所以 ，由（1） ，所以AN=PN

又因為M為PA的中點，所以PA⊥MN

因為MN∩MO=M，MN平面BMN，MO平面BMN

所以PA⊥平面BMN，因為PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN．

【解析】
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．