Question

如圖，設(shè)四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=

2

a點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE=λa（0＜λ≤2）
（1）求證：對(duì)任意的λ∈（0，2]，都有AC⊥BE；
（2）設(shè)二面角C-AE-D的大小為θ，直線BE與平面ABCD所成的角為φ，若cosθ=sinφ，求λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）因?yàn)镾D⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理只要證AC⊥BD即可．
（2）先找出θ和φ，因?yàn)橛蒘D⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C-AE-D的平面角可由三垂線定理法作出．再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．

解答： （1）證明：連接BE、BD，由底面ABCD是正方形可得AC⊥BD．
∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE
（2）解：由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，
∵SD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴SD⊥CD．
又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．
連接AE、CE，過(guò)點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DF⊥AE于F，連接CF，則CF⊥AE，
故∠CFD是二面角C-AE-D的平面角，即∠CFD=θ．
在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa，
∴tanφ=

DE

BD

=

λ

2

在Rt△ADE中，∵AD=

2

a，DE=λa∴AE=a

λ2+2

從而DF=

AD•DE

AE

=

2 λa

λ2+2

在Rt△CDF中，tanθ=

CD

DF

=

λ2+2

λ

．
由sinφ=cosθ?θ+φ=

π

2

?tanθ•tanφ=1，得

λ2+2

λ

•

λ

2

=1
即

λ2+2

=2，所以λ²=2．
由0＜λ≤2，解得λ=

2

，即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間線線垂直的證明、空間垂直之間的相互轉(zhuǎn)化、空間角的求解，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力．