Question

已知矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，E、F分別是AB、PC的中點(diǎn)，且PA=AD．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：面PEC⊥面PCD．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）作CD的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，EG，先證明出FG∥PD，EG∥AD，根據(jù)面面平行的判定定理證明出平面EFG∥平面ADP，進(jìn)而根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明出EF∥平面ADP．
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理證明出CD⊥EFG，則EF⊥CD可證，進(jìn)而證明出△PEA≌△CEB得知PE=CE，證明出EF⊥PC，最后利用線面垂直的判定定理證明出EF⊥平面PCD．
最后利用面面垂直的判定定理證明出面PEC⊥面PCD．

解答： （1）作CD的中點(diǎn)G，連結(jié)FG，EG，
∵E，F(xiàn)，G均為中點(diǎn)，
∴FG∥PD，EG∥AD，
∵FG?平面ADP，EG?平面ADP，
∴FG∥平面ADP，EG∥平面ADP，
∵FG∩EG=G，F(xiàn)G?平面EFG，EG?平面EFG，
∴平面EFG∥平面ADP，
∵EF?平面EFG，
∴EF∥平面ADP．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面ADP，AD?平面ADP，
∴CD⊥平面ADP，
∵平面EFG∥平面ADP，
∴CD⊥平面EFG，
∵EF?平面EFG，
∴CD⊥EF，
∵PA=AD=BC，∠A=∠B，BE=AE，
∴△PEA≌△CEB，
∴PE=EC，
∵F為PC的中點(diǎn)，
∴EF⊥PC，
∵PC?平面PCD，CD?平面PCD，PC∩CD=C，
∴EF⊥平面PCD．
∵EF?面PEC，
∴面PEC⊥面PCD．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直和面面垂直的判定定理的應(yīng)用．證明面面垂直的主要方法一般是先證明出線面垂直，進(jìn)而判斷出面面垂直．