Question

已知方程x²+y²-2x+2my+m²-2m-2=0（m∈R）．
（1）若方程表示圓，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若方程表示的圓C的圓心C（1，1），求經(jīng)過P（2，4）的圓C的切線方程；
（3）若直線x+y+t=0與（2）中的圓C交于A、B兩點(diǎn)，且△ABC是直角三角形，求實數(shù)t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）方程配方得（x-2）²+（y+m）²=3+2m，使方程表示圓，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．
（2）圓C的圓心為（1，-m），得m=-1，所以圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=1，由此能求出過點(diǎn)P（2，4）的切線方程．
（3）由題意知，|CA|=|CB|=1，且∠ACB=90°，由此利用圓心C到直線x+y+t=0的距離為

2

2

，能求出實數(shù)t的值．

解答： 解：（1）方程配方得（x-2）²+（y+m）²=3+2m，…（1分）
使方程表示圓，則3+2m＞0，m＞-

3

2

，
故實數(shù)m的取值范圍是（-

3

2

，+∞）．…（3分）
（2）由（1）得，圓C的圓心為（1，-m），得m=-1，…（4分）
所以圓C的方程為（x-1）²+（y-1）²=1，…（5分）
①過點(diǎn)P（2，4）且垂直于x軸的直線與圓C相切，
即x=2是圓的切線；…（6分）
②當(dāng)切線不垂直于x軸時，
設(shè)切線方程為y-4=k（x-2），
即kx-y+4-2k=0，
由

|k-3|

k2+1

=1，得k=

4

3

，
此時切線方程為y-4=

4

3

(x-2)，即4x-3y+4=0，…（8分）
綜上，所求切線方程為x=2和4x-3y+4=0．…（9分）
（3）由題意知，|CA|=|CB|=1，且∠ACB=90°，
則圓心C到直線x+y+t=0的距離為

2

2

，即

|t+2|

2

=

2

2

．…（11分）
解得t=-3或t=-1．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查圓的切線方程的求法，考查圓心到直線的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．