Question

如圖所示為函數(shù)f（x）=

x

（0＜x＜1）的圖象，其在點(diǎn)M（t，f（t））處的切線為l，l與y軸和直線y=l分別交于點(diǎn)P，Q，點(diǎn)N（0，1），則△PQN的面積S以t為自變量的函數(shù)解析式為

 

，若△PQN的面積為b時(shí)的點(diǎn)M恰好有兩個(gè)，則b的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：首先根據(jù)條件寫出切點(diǎn)坐標(biāo)，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)和切線的斜率，寫出切線l的方程，再令x=0，求出P的坐標(biāo)，令y=1，求出Q的坐標(biāo)，然后寫出△PQN的面積S的解析式，注意定義域，令令

t

=x，對(duì)S（x）求導(dǎo)，并求出單調(diào)區(qū)間，求出極大值，再根據(jù)圖象觀察分析得到結(jié)論．

解答： 解：切點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，

t

），
函數(shù)f（x）=

x

的導(dǎo)數(shù)f'（x）=

1

2 x

，
∴切線的斜率為

1

2 t

，
∴切線l的方程為y-

t

=

1

2 t

（x-t），
令x=0，則y=

t

2

，即P（0，

t

2

），
令y=1，則x=2

t

-t，即Q（2

t

-t，1），
∴S=

1

2

（2

t

-t）•（1-

t

2

）=

t •(2- t )2

4

（0＜t＜1），
令

t

=x，則S（x）=

x•(2-x)2

4

（0＜x＜1），
∴S'（x）=

1

4

（x-2）（3x-2），
由S'（x）=0得x=

2

3

，
當(dāng)

2

3

＜x＜1時(shí)，S'（x）＜0；當(dāng)0＜x＜

2

3

時(shí)，S'（x）＞0，
∴S（x）的增區(qū)間為（0，

2

3

），減區(qū)間是（

2

3

，1），
∴x=

2

3

時(shí)，S（x）取極大值，也為最大值，且為

8

27

，
當(dāng)x=1時(shí)，S（1）=

1

4

，
故切點(diǎn)M恰好有兩個(gè)時(shí)，b的取值范圍是

1

4

＜b＜

8

27

．
故答案為：S=

t •(2- t )2

4

（0＜t＜1），（

1

4

，

8

27

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的建立，同時(shí)考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運(yùn)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，以及根據(jù)圖象觀察分析的能力，是一道中檔題．