Question

已知函數(shù)f（x）=2e^x-2x，g（x）=x²+m（m∈R）．
（Ⅰ）試討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），x∈[0，3]，當函數(shù)y=h（x）有零點時，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）試討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；有兩種方法，一是利用定義，二是求導；
（2）求最大值的問題，轉(zhuǎn)化為在[0，3]上函數(shù)h（x）為增函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為求h'（x）在該區(qū)間上恒大于0，問題得以解決．

解答： 解：∵f（x）=2e^x-2x，
∴f'（x）=2e^x-2，
令f'（x）=2e^x-2=0，得x=0．
當f'（x）≥0時，解得x≥0；當f'（x）＜0時，解得x＜0，
故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）∵f（x）=2e^x-2x，g（x）=x²+m
∴h（x）=2e^x-2x-x²-m，
∴h'（x）=2e^x-2-2x
令g（x）=2e^x-2-2x，
∴g'（x）=2（e^x-1）
當x∈[0，3]，g'（x）=2（e^x-1）＞0，
∴g（x）在x∈[0，3]上為增函數(shù)，
對于任意x∈[0，3]，有g(shù)（x）＞g（0），
即h'（x）=2e^x-2-2x＞h'（0）=0，
∴h（x）在x∈[0，3]上是增函數(shù)，h（x）的最大值h（3）=2e³-15-m，
故函數(shù)y=h（x）有零點時，實數(shù)m的最大值是2e³-15．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，把要求的問題轉(zhuǎn)化為導數(shù)的問題，然后加以解決，注意的知識的遷移．