Question

5．（Ⅰ）如果方程x²+ky²=2表示焦點在y軸上的橢圓，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）已知雙曲線的中心在原點，兩個焦點為F₁ （-$\sqrt{5}$，0）和F₂ （$\sqrt{5}$，0），P在雙曲線上，滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0且△F₁PF₂的面積為1，求此雙曲線的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方程x²+ky²=2可化為$\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{k}}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，利用方程x²+ky²=2表示焦點在y軸上的橢圓，建立不等式，即可求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，根據(jù)足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0判斷出∠PF₁F₂=90°進而根據(jù)三角形面積公式求得xy，最后根據(jù)勾股定理求得x²+y²的值，進而求得y-x，根據(jù)雙曲線定義求得a，最后根據(jù)a和c求得b，雙曲線方程可得．

解答 解：（Ⅰ）方程x²+ky²=2可化為$\frac{{y}^{2}}{\frac{2}{k}}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$，
∵表示焦點在y軸上的橢圓，
∴$\frac{2}{k}$＞2，
∴0＜k＜1；
（Ⅱ）設(shè)|PF₁|=x，|PF₂|=y，x＞y，
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴∠PF₁F₂=90°，
∴$\frac{1}{2}$xy=1，xy=2，
∵F₁F₁=2$\sqrt{5}$，
∴x²+y²=20，
∴y-x=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2xy}$=4，
∵y-x=2a=4，
∴a=2，
∴b=1．
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$．

點評 本題主要考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．