Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程;

（2）求的最值.

Answer 1

（1）；（2）最小值為-2，最大值為2

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的離心率為，可得，，

即 .1分

又，

∴ 2分，

∴c=2，

∴，

∴橢圓方程為 3分

（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)，聯(lián)立

，可得，

①

5分

∵，

∴，

∴ 6分，

又，

∴，

∴，

∴， 8分，

，

∴ 10分

當(dāng)k=0(此時(shí)滿足①式).即直線AB平行于x軸時(shí)，的最小值為-2 .11分

當(dāng)斜率不存在時(shí)，有，

∴，

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入橢圓方程，可得，

∴，

∴最大值為2，

綜上所述，的最小值為-2，最大值為2 13分

考點(diǎn)：本題考查橢圓的定義，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系