Question

設函數f（x）=lnx-ax²-bx．
（1）當a=b=

1

2

時，求f（x）的最大值．
（2）令F（x）=f（x）+ax²+bx（0＜x≤3），其圖象上任意一點P（x₀，y₀）處的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當a=b=

1

2

時，f'（x）=

-(x+2)(x-1)

2x

，由此利用導數性質能求出f（x）的最大值．
（2）F（x）=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，由此利用導數性質結合已知條件能求出實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意，知f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=b=

1

2

時，f（x）=lnx-

1

4

x²-

1

2

x，
f'（x）=

1

x

-

1

2

x-

1

2

=

-(x+2)(x-1)

2x

，
令f'（x）=0，解得x=1或x=-2（舍去）．
當0＜x＜1時，f'（x）＞0，f（x）是增加的；
當x＞1時，f'（x）＜0，f（x）是減少的．
所以f（x）的極大值為f（1）=-

3

4

，
即f（x）的最大值是-

3

4

．
（2）F（x）=lnx+

a

x

，x∈（0，3]，
則有k=F'（x₀）=

x0-a

x02

≤

1

2

在（0，3]上恒成立，
所以a≥（-

1

2

x02+x₀）max，
當x₀=1時，-

1

2

x02+x₀取得最大值

1

2

，所以a≥

1

2

．

點評：本題考查函數的最大值的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．