Question

設(shè)x=a和x=b是函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

x²-（m+2）x的兩個極值點，其中a＜b，m∈R．
（1）求f（a）+f（b）的取值范圍；
（2）若m≥

e

+

1

e

-2（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求f（b）-f（a）的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）有兩個極值點，即它的導(dǎo)函數(shù)有兩個不相等的正實數(shù)根，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)有實根的問題，由韋達定理，利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出f（a）+f（b）的取值范圍；
（2）將f（b）-f（a）化簡變形，令t=

b

a

，構(gòu)造關(guān)于t的一個函數(shù)，再由m≥

e

+

1

e

-2求出t的取值范圍，求出f（b）-f（a）的最大值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

1

x

+x-(m+2)=

x2-(m+2)x+1

x

，
依題意，方程x²-（m+2）x+1=0有兩個不等的正根a、b（其中a＜b），
故

(m+2)2-4＞0 m+2＞0

，∴m＞0，
又a+b=m+2，ab=1，
∴f（a）+f（b）=lnab+

1

2

(a2+b2)-（m+2）（a+b）
=

1

2

[(a+b)2-2ab]-（m+2）（a+b）=-

1

2

(m+2)2-1，
∵m＞0，∴-

1

2

（m+2）²-1＜-3，
故f（a）+f（b）的取值范圍是（-∞，-3）；
（2）當m≥

e

+

1

e

-2時，（m+2）²≥e+

1

e

+2，
設(shè)t=

b

a

（t＞1），則（m+2）²=（a+b）²=

(a+b)2

ab

=t+

1

t

+2≥e+

1

e

+2，
∴t+

1

t

≥e+

1

e

⇒（t-e）（1-

1

te

）≥0，∴t≥e，
∴f（b）-f（a）=ln

b

a

+

1

2

（b²-a²）-（m+2）（b-a）
=ln

b

a

+

1

2

（b²-a²）-（b+a）（b-a）=ln

b

a

-

1

2

（b²-a²）
=ln

b

a

-

1

2

（

b2-a2

ab

）=ln

b

a

-

1

2

（

b

a

-

a

b

）=lnt-

1

2

（t-

1

t

），
構(gòu)造函數(shù)g（t）=lnt-

1

2

（t-

1

t

），其中t≥e，
由g′（t）=

1

t

-

1

2

（1+

1

t2

）=-

(t-1)2

2t2

＜0
∴g（t）在[e，+∞）上單調(diào)遞減，g（t）≤g（e）=1-

e

2

+

1

2e

，
故f（b）-f（a）的最大值為1-

e

2

+

1

2e

．

點評：本題是考查了函數(shù)的極值，運用了求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，等價轉(zhuǎn)化，化歸等思想，是一道導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題，中等難度．