Question

已知函數f(x)=

1

3

x

3

+a

x

2

+bx．
（1）若函數f（x）在區(qū)間[-1，1），（1，3]內各有一個極值點，當以a²-b取最大值時，求函數f（x）的表達式；
（2）若a=-1，在曲線y=f（x）上是否存在唯一的點P，使曲線在點P處的切線l與曲線只有一個公共點？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）函數的極值點，即導函數的零點，導函數所對應方程的根，由求根公式得，轉化求出a，b的值；
（2）設出切點，利用導數求出切線方程，由f（x）和切線方程構造新的函數g（x），說明x=x₀是函數g（x）的唯一零點就行，即是g′（x）的唯一極值點，且在兩側單調．

解答： 解：∵函數f（x）在區(qū)間[-1，1），（1，3]內各有一個極值點，
∴f′（x）=x²+2ax+b=0在[-1，1），（1，3]內分別有一個實根，
設兩個實根為x₁，x₂（x₁＜x₂），則x₂-x₁=2

a2-b

，且0＜x₂-x₁≤4，于是
0＜2

a2-b

≤4，0＜a²-b≤4，且當x₁=-1，x₂=-3時等號成立，
故a²-b取得最大值是4，此時f（x）=

1

3

x3-x2-3x；
（2）假如存在點p（x₀，y₀）符合條件，
則由f′（x）=x²-2x+b知f（x）在點P處切線l的方程是
y-f（x₀）=f′（x₀）（x-x₀），即y=（x02-2x0+b）x-

2

3

x03+x 02
令g（x）=f（x）-[（x02-2x0+b）x-

2

3

x03+x 02]=

1

3

x3-x2-（x 02-2x₀）x+

2

3

x03-x 02，則g（x₀）=0
由題設知，g（x）=f（x）-[（x02-2x0+b）x-

2

3

x03+x 02]存在唯一零點x₀，且在x=x₀兩邊附近的函數值導號，
則x=x₀一定不是g（x）的極值點，又g′（x）=x2-2x-x02+2x0=（x-x₀）（x+x₀-2）．
若x₀≠2-x₀，則易知x=x₀，和x=2-x₀都是g（x）的極值點，不合題意；
若x₀=2-x₀，即x₀=1時，又g′（x）=x2-2x-x02+2x0=（x-x₀）（x+x₀-2）=（x-1）²≥0，
此時函數g（x）=

1

3

x3-x2-(x02-2x0)x+

2

3

x03-x02=

1

3

x3-x2+x-

1

3

=

1

3

(x-1)3單調遞增，
當x＞1時，g（x）＞0；當x＜1時，g（x）＜0，故函數g（x）有唯一零點x=1，且在x=1兩邊附近的函數值異號，
故在曲線y=f（x）上存在唯一的點P（1，f（1）），使曲線在點P處的切線l與曲線只有一個公共點．

點評：本題考查了函數的極值，零點，構造函數，等價轉換思想，屬于難題．