Question

數(shù)列{a_n}的通項a_n=n²（cos²

nπ

3

-sin²

nπ

3

），其前n項和為S_n．
（1）求S_n；
（2）b_n=

S3n

n•4n

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式可得an=n2•cos

2π

3

，由于cos

2nπ

3

=

- 1 2  n=3k+1 - 1 2  n=3k+2 1     n=3k

，所以求和時需要對n分類討論分類討論，求出和
（2）由（1）可得bn=

9n+4

2•4n

，利用錯位相減求出數(shù)列的和

解答：解：（1）由于cos2

nπ

3

-sin2

nπ

3

=cos

2nπ

3

，an=n2•cos

2nπ

3

故S_3k=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3k-2+a_3k-1+a_3k）
=(-

12+22

2

+32)+(-

42+52

2

+62)+…+[-

(3k-2)2+(3k-1)2

2

+(3k)2]
=

13

2

+

31

2

+…+

18k-5

2

=

k(4+9k)

2

S3k-1=S3k-a3k=

k(4-9k)

2

，
S3k-2=S3k-1-a3k-1=

k(4-9k)

2

+

(3k-1)2

2

=

1

2

-k=-

3k-2

3

-

1

6

，
故Sn=

- n 3 - 1 6 n=3k-2 (n+1)(1-3n) 6 n=3k-1 n(3n+4) 6 n=3k

（k∈N^*）
（2）bn=

S3n

n•4n

=

9n+4

2•4n

，
Tn=

1

2

[

13

4

+

22

42

+…+

9n+4

4n

]，
4Tn=

1

2

[13+

22

4

+…+

9n+4

4n-1

]，
兩式相減得3Tn=

1

2

[13+

9

4

+…+

9

4n-1

-

9n+4

4n

]=

1

2

[13+

9 4 - 9 4n

1- 1 4

-

9n+4

4n

]=8-

1

22n-3

-

9n

22n+1

，
故Tn=

8

3

-

1

3•22n-3

-

3n

22n+1

．

點評：（1）本題三角公式中的二倍角公式及三角的周期性為切入點考查數(shù)列的求和，由于三角的周期性，在求cos

2nπ

3

 的值時需要對n分類討論
（2）主要考查數(shù)列求和的錯位相減，此方法是數(shù)列求和部分高考考查的重點及熱點．