Question

【題目】已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)．

（1）若，求函數(shù)在上的最值；

（2）若，討論函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】（1）最大值是5-2ln5，最小值為2﹣2ln2；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出， 得增區(qū)間， 得減區(qū)間，從而求出函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論 的范圍，確定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

試題解析：（1）∵f（x）=x﹣2lnx，∴f′（x）=，令f′（x）=0，∴x=2．列表如下，

x	1	（1，2）	2	（2，5）	5
f'（x）		﹣	0	+
f（x）	1	↘	2﹣2ln2	↗	5﹣2ln5

從上表可知，∵f（5）﹣f（1）=4﹣2ln5>0，∴f（5）＞f（1），

函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最大值是5-2ln5，最小值為2﹣2ln2；

（2）f′(x)=1+ - ==，

①當(dāng)a＞2時(shí)，x∈（0，2）∪（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，a）時(shí)，f′（x）＜0，

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2，a）；

②當(dāng)a=2時(shí)，∵f′(x)= >0(x≠2)，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；

③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，x∈（0，a）∪（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（a，2）時(shí)，f′（x）＜0，

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，2）；

綜上，當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（a，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（2，a）；

當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（a，2）．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)一步求函數(shù)最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③令，解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間；令，解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間；④根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的極值及最值（閉區(qū)間上還要注意比較端點(diǎn)處函數(shù)值的大小）.