Question

【題目】如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，設(shè).

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）

（2）試判斷線段的長(zhǎng)度是否隨點(diǎn)的位置的變化而改變？并說明理由.

（3）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最小.

（4）在軸正半軸上存在點(diǎn)，使得是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出不少于4個(gè)符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）（2）的長(zhǎng)度不變（3）（4） ， ，

【解析】【試題分析】（1）作于點(diǎn)，依據(jù)，及，推得，即，進(jìn)而依據(jù)，推得，借助，推出≌（），求出， ，則

進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）借助，點(diǎn)，求出直線的解析式為： ，然后再依據(jù)點(diǎn)在直線上，且，求得，進(jìn)而得到點(diǎn)，從而求出，即的長(zhǎng)度不變；（3）借助（1）的結(jié)論，及，推得∽，故，從而求得， ， ，建立函數(shù)，求出當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，最小值6；（4）借助圖形的直觀可以探求出在軸正半軸上存在點(diǎn)，使得是等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為： ， ， ， ：

解：（1）作于點(diǎn)，∴，

∵，∴，∴，

又∵，∴，∵，

∴≌（）

∴， ，∴

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（2）線段長(zhǎng)度不變.

∵，點(diǎn)，∴直線的解析式為： ，

∵點(diǎn)在直線上，且， ，∴點(diǎn)

∴，即的長(zhǎng)度不變.

（3）由（1）知， ，又∵

∴∽，∴，

∵， ，∴

∴，得，

∴

∵， ，

∴

∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，最小值6；

（4）在軸正半軸上存在點(diǎn)，使得是等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為： ， ， ，