Question

【題目】已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對于任意實(shí)數(shù)對（x1 ， y1）∈M，存在（x2 ， y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，則稱集合M是“垂直對點(diǎn)集”，給出下列四個(gè)集合： ①M(fèi)={（x，y）|y= }；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③={（x，y）|y=2x﹣2}；
④M={（x，y）|y=log2x}
其中是“垂直對點(diǎn)集”的序號是（ ）
A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由題意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}滿足： 對于任意A（x1 ， y1）∈M，存在B（x2 ， y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
因此 ．所以，若M是“垂直對點(diǎn)集”，
那么在M圖象上任取一點(diǎn)A，過原點(diǎn)與直線OA垂直的直線OB總與函數(shù)圖象相交于點(diǎn)B．
對于①：M={（x，y）|y= }，其圖象是過一、二象限，且關(guān)于y軸對稱，
所以對于圖象上的點(diǎn)A，在圖象上存在點(diǎn)B，使得OB⊥OA，所以①符合題意；
對于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，畫出函數(shù)圖象，
在圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，過原點(diǎn)作直線OA的垂線OB，
因?yàn)閥=sinx+1的圖象沿x軸向左向右無限延展，且與x軸相切，
因此直線OB總會(huì)與y=sinx+1的圖象相交．
所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直對點(diǎn)集”，故②符合題意；
對于③：M={（x，y）|y=2x﹣2}，其圖象過點(diǎn)（0，﹣1），
且向右向上無限延展，向左向下無限延展，
所以，據(jù)圖可知，在圖象上任取一點(diǎn)A，連OA，
過原點(diǎn)作OA的垂線OB必與y=2x﹣2的圖象相交，即一定存在點(diǎn)B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直對點(diǎn)集”．故③符合題意；
對于④：M={x，y）|y=log2x}，對于函數(shù)y=log2x，
過原點(diǎn)做出其圖象的切線OT（切點(diǎn)T在第一象限），
則過切點(diǎn)T做OT的垂線，則垂線必不過原點(diǎn)，
所以對切點(diǎn)T，不存在點(diǎn)M，使得OM⊥OT，
所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直對點(diǎn)集”；故④不符合題意．
故選：D．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用集合的表示方法-特定字母法，掌握①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾��?②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合即可以解答此題．