Question

函數(shù)f（x）=2cos（2x-θ+

π

6

）（0＜θ＜

π

2

）是偶函數(shù)．
（Ⅰ）求θ；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象先縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

2

3

倍，再向左平移

π

18

個(gè)單位，最后向上平移1個(gè)單位得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）-

2

m

-1=0在x∈[-

π

6

，

π

6

]有兩個(gè)不同的根α，β，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及α+β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,余弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，且0＜θ＜

π

2

，求出θ的值；
（Ⅱ）由圖象平移求出函數(shù)y=g（x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求出m的取值范圍，利用反三角函數(shù)求出α、β的值，即可求α+β．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2cos（2x-θ+

π

6

）是偶函數(shù)，且0＜θ＜

π

2

，
∴θ=

π

6

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=2cos2x，
將函數(shù)y=f（x）的圖象先縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

2

3

倍，得y=2cos3x的圖象；
再向左平移

π

18

個(gè)單位，得y=2cos3（x+

π

18

）=2cos（3x+

π

6

）的圖象；
最后向上平移1個(gè)單位得y=2cos（3x+

π

6

）+1的圖象；
∴y=g（x）=2cos（3x+

π

6

）+1；
又∵g（x）-

2

m

-1=0，
即2cos（3x+

π

6

）+1-

2

m

-1=0，
∴cos（3x+

π

6

）=

1

m

；
在x∈[-

π

6

，

π

6

]時(shí)，
3x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
y=cos（3x+

π

6

）=

1

m

有兩個(gè)不同的根α，β，
∴

1

2

≤

1

m

＜1，
解得1＜m≤2；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，2]；
又∵cos（3x+

π

6

）=

1

m

，
∴3x+

π

6

=arccos

1

m

，或-arccos

1

m

；
即α=-

π

18

+

1

3

arccos

1

m

，β=-

π

18

-

1

3

arc

1

m

；
∴α+β=-

π

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了由三角函數(shù)的值求角的問(wèn)題，是中檔題．