Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-2，當(dāng)x≤-1時(shí)}\\{（x-2）（|x|-1），當(dāng)x＞-1時(shí)}\end{array}\right.$
（1）如果f（x）≥2，求x的取值范圍；
（2）如果方程f（x）=a有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$-2≥2，當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）=（x-2）（|x|-1）≥2，分別解不等式即可；
（2）由（1）作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-2，當(dāng)x≤-1時(shí)}\\{（x-2）（|x|-1），當(dāng)x＞-1時(shí)}\end{array}\right.$的圖象，結(jié)合圖象寫(xiě)出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x≤-1時(shí)，
f（x）=$（\frac{1}{2}）^{x}$-2≥2，
解得，x≤-2；
當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）=（x-2）（|x|-1）≥2，
①當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，（x-2）（-x-1）≥2無(wú)解；
②當(dāng)0≤x時(shí)，（x-2）（x-1）≥2，
x=0或x≥3；
綜上所述，x的取值范圍為
（-∞，-2]∪{0}∪[3，+∞）．
（2）由（1）知，作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（\frac{1}{2}）^{x}-2，當(dāng)x≤-1時(shí)}\\{（x-2）（|x|-1），當(dāng)x＞-1時(shí)}\end{array}\right.$的圖象如下，

結(jié)合函數(shù)的圖象可知，
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，方程f（x）=a有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)與絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．