【題目】已知橢圓C： 經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線： 與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，求面積的最大值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

【答案】(1) ；(2) .

【解析】【試題分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合橢圓離心率和，列方程組，求出的值.由此求得橢圓方程.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理和判別式.根據(jù)弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式，求得面積的表達(dá)式，最后利用基本不等式求最大值.

【試題解析】

（1）由題意，知考慮到，解得

所以，所求橢圓C的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，

整理得.

由，得. ①

設(shè)， ，則， .

于是

.

又原點(diǎn)O到直線AB： 的距離.

所以.

因?yàn)?/span>，當(dāng)僅且當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).

所以，即面積的最大值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品700件，該工廠對(duì)這些產(chǎn)品進(jìn)行了安全和環(huán)保這兩個(gè)性能的質(zhì)量檢測(cè)。工廠決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，現(xiàn)將700件產(chǎn)品按001，002，…,700進(jìn)行編號(hào)；

（1）如果從第8行第4列的數(shù)開(kāi)始向右讀，請(qǐng)你依次寫(xiě)出最先檢測(cè)的3件產(chǎn)品的編號(hào)；

（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表的第7～9行）

84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76

63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79

33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54

（2）抽取的100件產(chǎn)品的安全性能和環(huán)保性能的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果如下表：

檢測(cè)結(jié)果分為優(yōu)等、合格、不合格三個(gè)等級(jí)，橫向和縱向分別表示安全性能和環(huán)保性能。若在該樣本中，產(chǎn)品環(huán)保性能是優(yōu)等的概率為，求，的值。

件數(shù)

環(huán)保性能

優(yōu)等

合格

不合格

安全性能

優(yōu)等

6

20

5

合格

10

18

6

不合格

4

（3）已知，，求在安全性能不合格的產(chǎn)品中，環(huán)保性能為優(yōu)等的件數(shù)比不合格的件數(shù)少的概率。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知當(dāng)（其中是自然對(duì)數(shù)）時(shí)，在上至少存在一點(diǎn)，使成立，求的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意， ，有.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2017年“雙節(jié)”期間，高速公路車(chē)輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車(chē)中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問(wèn)調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能?chē)速分成六段： ， ， ， ， ， 后得到如圖的頻率分布直方圖．

（1）調(diào)查公司在采樣中，用到的是什么抽樣方法？

（2）求這40輛小型車(chē)輛車(chē)速的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的估計(jì)值；

（3）若從車(chē)速在的車(chē)輛中任抽取2輛，求車(chē)速在的車(chē)輛至少有一輛的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)斜率為的兩條平行直線分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，如圖. 與拋物線交于兩點(diǎn)， 與拋 物線交兩點(diǎn).問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得四邊形的面積為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知是不重合直線，是不重合平面，則下列命題

①若，則∥

②若∥∥，則∥

③若∥、∥，則∥

④若，則∥

⑤若，則∥

為假命題的是

A. ①②③ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，判斷方程在區(qū)間上有無(wú)實(shí)根；

（3）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；

（Ⅱ）當(dāng)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求的值及函數(shù)的最小正周期.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線l過(guò)點(diǎn)P（1，2）．

（1）若直線l在x軸和y軸上的截距相等，求直線l的方程；

（2）求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l距離取最大值時(shí)的直線l的方程；

（3）設(shè)直線l與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|PA||PB|最小時(shí)，求直線l的方程．

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