【題目】函數(shù),其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知當(dāng)(其中是自然對數(shù))時,在上至少存在一點,使成立,求的取值范圍;
(3)求證:當(dāng)時,對任意, ,有.
【答案】(1) 遞增區(qū)間為和,遞減區(qū)間為.(2) ;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)易知的定義域為,再求導(dǎo)由 得: 或 ,討論兩根和定義域的關(guān)系,由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求單調(diào)區(qū)間即可;
(2)題中條件等價于當(dāng)時, ,進(jìn)而求即可;
(3)構(gòu)造輔助函數(shù),并求導(dǎo)得,當(dāng)時, , 為減函數(shù),有,變形即可證得.
試題解析:
(1)易知的定義域為.
.
由 得: 或 .
∵,∴.
∴時, 為增函數(shù);
時, 為減函數(shù);
時, 為增函數(shù),
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為和,
遞減區(qū)間為.
(2)在上至少存在一點,使成立,
等價于當(dāng)時, .
∵,∴.
由(Ⅰ)知, 時, 為增函數(shù), 時, 為減函數(shù).
∴在時, .
∴.
檢驗,上式滿足,所以是所求范圍.
(3)當(dāng)時,函數(shù).構(gòu)造輔助函數(shù),
并求導(dǎo)得.
顯然當(dāng)時, , 為減函數(shù).
∴ 對任意,都有成立,即.
即.
又∵,
∴.
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【題目】下圖是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.
若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診人數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列,的前n項和為,則下列說法中正確的是( )
A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列
C.數(shù)列的最大項是D.數(shù)列的最大項是
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【題目】如圖,已知四棱錐,底面為邊長為2的菱形,平面,,,分別是,的中點.
(1)判定與是否垂直,并說明理由;
(2)若,求二面角的余弦值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的右焦點,點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點的直線與橢圓交于兩點(不是橢圓的頂點),點在橢圓上,且,直線與軸,軸分別交于兩點.
(ⅰ)設(shè)直線斜率分別為,求的值;
(2)求面積的最大值.
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【題目】設(shè)中心在原點,焦點在軸上的橢圓過點,且離心率為.為的右焦點,為上一點,軸,的半徑為.
(1)求和的方程;
(2)若直線與交于兩點,與交于兩點,其中在第一象限,是否存在使?若存在,求的方程;若不存在,說明理由.
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【題目】某次考試后,對全班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行整理,得到表:
分?jǐn)?shù)段 | ||||
人數(shù) | 5 | 15 | 20 | 10 |
將以上數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后,可估計出本次考試成績的中位數(shù)是__________.
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【題目】已知橢圓C: 經(jīng)過點,且離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線: 與橢圓C交于兩個不同的點A,B,求面積的最大值(O為坐標(biāo)原點).
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【題目】已知橢圓 的右焦點與短軸兩個端點的連線互相垂直.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點為橢圓的上一點,過原點且垂直于的直線與直線交于點,求面積的最小值.
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