【題目】函數(shù),其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知當(dāng)(其中是自然對(duì)數(shù))時(shí),在上至少存在一點(diǎn),使成立,求的取值范圍;
(3)求證:當(dāng)時(shí),對(duì)任意, ,有.
【答案】(1) 遞增區(qū)間為和,遞減區(qū)間為.(2) ;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)易知的定義域?yàn)?/span>,再求導(dǎo)由 得: 或 ,討論兩根和定義域的關(guān)系,由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求單調(diào)區(qū)間即可;
(2)題中條件等價(jià)于當(dāng)時(shí), ,進(jìn)而求即可;
(3)構(gòu)造輔助函數(shù),并求導(dǎo)得,當(dāng)時(shí), , 為減函數(shù),有,變形即可證得.
試題解析:
(1)易知的定義域?yàn)?/span>.
.
由 得: 或 .
∵,∴.
∴時(shí), 為增函數(shù);
時(shí), 為減函數(shù);
時(shí), 為增函數(shù),
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為和,
遞減區(qū)間為.
(2)在上至少存在一點(diǎn),使成立,
等價(jià)于當(dāng)時(shí), .
∵,∴.
由(Ⅰ)知, 時(shí), 為增函數(shù), 時(shí), 為減函數(shù).
∴在時(shí), .
∴.
檢驗(yàn),上式滿足,所以是所求范圍.
(3)當(dāng)時(shí),函數(shù).構(gòu)造輔助函數(shù),
并求導(dǎo)得.
顯然當(dāng)時(shí), , 為減函數(shù).
∴ 對(duì)任意,都有成立,即.
即.
又∵,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.
若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診人數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列,的前n項(xiàng)和為,則下列說(shuō)法中正確的是( )
A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列
C.數(shù)列的最大項(xiàng)是D.數(shù)列的最大項(xiàng)是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐,底面為邊長(zhǎng)為2的菱形,平面,,,分別是,的中點(diǎn).
(1)判定與是否垂直,并說(shuō)明理由;
(2)若,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(不是橢圓的頂點(diǎn)),點(diǎn)在橢圓上,且,直線與軸,軸分別交于兩點(diǎn).
(。┰O(shè)直線斜率分別為,求的值;
(2)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn),且離心率為.為的右焦點(diǎn),為上一點(diǎn),軸,的半徑為.
(1)求和的方程;
(2)若直線與交于兩點(diǎn),與交于兩點(diǎn),其中在第一象限,是否存在使?若存在,求的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某次考試后,對(duì)全班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行整理,得到表:
分?jǐn)?shù)段 | ||||
人數(shù) | 5 | 15 | 20 | 10 |
將以上數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后,可估計(jì)出本次考試成績(jī)的中位數(shù)是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線: 與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,求面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線互相垂直.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)為橢圓的上一點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)且垂直于的直線與直線交于點(diǎn),求面積的最小值.
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