Question

已知中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的橢圓離心率為,且經(jīng)過點(diǎn),過橢圓的左焦點(diǎn)作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB。 

（1）求橢圓E的方程

（2）現(xiàn)將橢圓E上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话�，求所得曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率

（3）是否存在直線，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線的方程。若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）焦點(diǎn)為（0，）,離心率；

（3）或.

【解析】本試主要考查了橢圓的方程和直線與橢圓位置關(guān)系的 運(yùn)用。

解：(1)設(shè)橢圓E的方程，由條件得解得，橢圓E的方程……………4分

（2）由題意，變換后的曲線的方程為，所以焦點(diǎn)為（0，）,離心率……………7分

（3）當(dāng)軸時(shí)，A(，2)，B(，-2)，此時(shí)不滿足；

當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線AB的斜率是k，且直線過左焦點(diǎn)C(，0)，則直線方程是。

根據(jù)題意有，設(shè)則=0。

聯(lián)立方程 得

，，

==0

得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足

所以存在直線AB滿足條件，直線AB的方程是或�！�…16分