Question

已知a，b，c都是正數(shù)，求證：
（1）a^ab^bc^c≥a 

b+c

2

b 

a+c

2

c 

a+b

2

；  
（2）

a+b

2

≥

a+b	abba

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專(zhuān)題：推理和證明

分析：（1）利用綜合法，可得

aabbcc

a b+c 2 b a+c 2 c a+b 2

=(

a

b

)

a-b

2

•(

a

c

)

a-c

2

•(

b

c

)

b-c

2

，利用指數(shù)函數(shù)y=(

a

b

)x的單調(diào)性質(zhì)可得(

a

b

)

a-b

2

≥1，(

a

c

)

a-c

2

≥1，(

b

c

)

b-c

2

≥1，從而可證結(jié)論成立；
（2）利用基本不等式

a+b

2

≥

ab

，再利用分析法證明即可．

解答： 證明：（1）∵a，b，c都是正數(shù)，
∴

aabbcc

a b+c 2 b a+c 2 c a+b 2

=(

a

b

)

a-b

2

•(

a

c

)

a-c

2

•(

b

c

)

b-c

2

，
∵a，b，c都是正數(shù)，當(dāng)a≥b時(shí)，

a

b

≥1，

a-b

2

≥0，由由指數(shù)函數(shù)y=(

a

b

)x的單調(diào)遞增性質(zhì)可得(

a

b

)

a-b

2

≥1，
當(dāng)0＜a＜b時(shí)，0＜

a

b

＜1，

a-b

2

＜0，由指數(shù)函數(shù)y=(

a

b

)x的單調(diào)遞減性質(zhì)可得(

a

b

)

a-b

2

≥1，
綜上所述，(

a

b

)

a-b

2

≥1；同理可知，(

a

c

)

a-c

2

≥1，(

b

c

)

b-c

2

≥1；
∴(

a

b

)

a-b

2

•(

a

c

)

a-c

2

•(

b

c

)

b-c

2

≥1，即a^ab^bc^c≥a 

b+c

2

b 

a+c

2

c 

a+b

2

；  
（2）依題意，

a+b

2

≥

ab

，
要證

a+b

2

≥

a+b	abba

，只需證明?

ab

≥

a+b	abba

，即證(ab)

a+b

2

≥a^bb^a．
∵

(ab) a+b 2

abba

=a

a+b

2

-b•b

a+b

2

-a=(

a

b

)

a-b

2

≥1，
∴(ab)

a+b

2

≥a^bb^a成立，
∴原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，著重考查綜合法與分析法的應(yīng)用，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，考查推理論證能力，屬于難題．