Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（-2，2），導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=x²+cosx且f（0）=0，則滿足f（1+x）+f（x²-x）＞0的實數(shù)x的集合是

 

．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由導(dǎo)函數(shù)可求原函數(shù)f（x），判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性和奇偶性，利用奇偶性將不等式f（x-2）+f（x²-2x）＞0轉(zhuǎn)化成f（x-2）＞f（2x-x²），利用單調(diào)性去掉函數(shù)符號f 即可解得所求，注意自變量本身范圍．

解答： 解：∵f′（x）=x²+cosx，知f（x）=

1

3

x³+sinx+c，而f（0）=0，∴c=0．
即f（x）=

1

3

x³+sinx，易知此函數(shù)是奇函數(shù)，且在整個區(qū)間單調(diào)遞增，
因為f′（x）=1+cosx在x∈（0，2）恒大于0，
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，在其對應(yīng)區(qū)間上亦是單調(diào)遞增的．
由 f（1+x）+f（x^2_-x）＞0 可得 f（1+x）＞f（x-x²），
∴

1+x＞x-x2 -2＜1+x＜2 -2＜x-x2＜2

，
解得-1＜x＜1．
故實數(shù)x的集合是：（-1，1）
故答案為：（-1，1）

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，同時考查了計算能力，屬于中檔題．