Question

已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）=

2x-b

2x+a

．
（Ⅰ）求a，b的值．
（Ⅱ）判斷f（x）的單調(diào)性，并說明理由；
（Ⅲ）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）由定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）=

2x-b

2x+a

，可得f（0）=0，f（1）+f（-1）=0，解得b，a即可．
（II）由（I）可得：f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
利用y=2^x在R上單調(diào)遞增，可得y=

1

2x+1

在R上單調(diào)遞減，可得y=-

2

2x+1

在R上單調(diào)遞增，即可得出f（x）=1-

2

2x+1

在R上單調(diào)性．
（III）由（II）可知：f（x）在R上單調(diào)遞增．由f（x）是奇函數(shù)，可得-f（2t²-k）=f（k-2t²）．不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立?t²-t＞k-2t²在t∈R恒成立，由3t²-2t-k＞0在t∈R恒成立，因此△＜0，解出即可．

解答： 解：（I）∵定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）=

2x-b

2x+a

，
∴f（0）=

1-b

1+a

=0，f（1）+f（-1）=

2-b

2+a

+

1 2 -b

1 2 +a

=0，
解得b=1，a=1．
（II）由（I）可得：f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵y=2^x在R上單調(diào)遞增，∴y=

1

2x+1

在R上單調(diào)遞減，∴y=-

2

2x+1

在R上單調(diào)遞增，
因此f（x）=1-

2

2x+1

在R上單調(diào)遞增．
（III）由（II）可知：f（x）在R上單調(diào)遞增．
由f（x）是奇函數(shù)，可得-f（2t²-k）=f（k-2t²）．
不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立?f（t²-2t）＞-f（2t²-k）=f（k-2t²）在t∈R恒成立?t²-t＞k-2t²在t∈R恒成立，
由3t²-2t-k＞0在t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

．即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．